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Congratulations!

With a fortnight struggling with server migrations and debugging on connection errors, bindow has finally renewed to a new server for another exciting year! In the following year, I may not publish articles as quickly as I did last year, but I will endeavor to share my thoughts and[……]

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从收敛区间到收敛圆

神敲开实数的墙，创造了无上的圆。

我们在上一篇文章中讨论了f(x)=\frac{1}{x^2-1}的收敛性，我们可以看到，对于|f(x)|来说(一般来说，加绝对值不会对收敛区间有改变)，其收敛区间与爆破点的紧密联系:

让我们在复数域上看看收敛区间是如何拓展的.

让我们直接对f(x)展开，使用最高项为10次来绘制图像, 可以得到下面的图像:

我们来对这张图进行详细的分析, 首先我们定义逆时针彩虹色为零点(\displaystyle \lim_{x=a}{f(x)=0}), 可以看到该图中共有10个零点，这与我们最高项为10次相对应。而这十个点隐喻地构造了一个圆。

显然[……]

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从一些例子引入收敛半径

I. 例子A

考虑一个多项式函数f(x)=\frac{1}{x-1}, 它的泰勒级数为\textbf{Series}(f)=1+x^2+x^3+···

再考虑一个三角函数g(x)=\cos(x)的泰勒级数\textbf{Series}(g)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+···

要知道级数利用了函数在x=x_0处的任意阶导数信息，所以我们可以猜测拥有了任意阶导数信息之后，由无穷项多项式是不是可以无限接近原函数呢?

对于g(x)来说, 似乎是这样的,随着多项式阶数的不断增加，相似的区间不断增加，我们有理由相信其随着阶数的增加，还会不断扩张[……]

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Prelude: Complex Function as Transformation

和高等代数相似地，将复数看作复平面上的线性变换，即z\mapsto w = f(z)=(a+bi)z,由复数的性质我们有下图(i将点列逆时针旋转90度)，此处不再赘述.

当然，我们使用r\theta也能得到一样的结果(使用R(re^{i\theta}),\phi(re^{i\theta}))

再看看z\mapsto w = f(z)=z^n的变换:

在这里，若z=re^{i\theta},w就是w=r^ne^{in\theta}，表示距离变为n次幂，角度也放大n倍.

卡西尼曲线

卡西尼曲线被定义为:曲线[……]

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从一个方程说起

考虑如下方程的在复数域解:

1=z^{3}

我们有:

z=1,z=(-1)^{2/3},z=-(-1)^{2/3}

乍一看来, 只有第一个解是可以立马得到的, 而剩下的两个解则需要一些运算。

如果遇到z_0=z^{n}这样的方程, 他有什么特质呢?

复数域上的变换

回到第一个方程, 我们可以看到对z做变换f:x\rightarrow x^3, 这对于复数代表了什么含义?

让我们将方程的三个解绘制出来, 再加上单位圆，我们得到了如下图像:

明显的，这三个点在圆上构成了一个正三角形。

如果令w=f(z)=z^n，则z^(n)=1的解正是z平面上被映到w平面上的w=1的那些点。

对[……]

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叉积与多边形面积

任意多边形的面积并不总是十分好求的，对于边数少的多边形或正多边形，我们由公式即可计算面积，但是对于复杂的多边形，并没有很直观的公式来计算面积。

对简单情况的描述

考虑一个简单的正四边形，边长为二的情况下，它的面积为4.

正方形的面积公式告诉我们它的面积可以简单地通过2\times 2=4来得到，但相等的边长是任意多边形中很难满足的条件，所以对于任意多边形的面积，我们需要找到更宽的条件。

这里，我们选择平面中最常见的东西，点和线作为辅助, 试着计算这个正四边形的面积.

如果点O是原点, 而O到A,B,C,D的连线记为向量\vec{a},\vec{b},\vec{c},\ve[......]

实多项式的分解

简单的因式分解是中学的内容，其推广在高等代数中有详细展开。我们知道，有些实多项式在实数域上是不可被分解的，例如x^2+1就是如此。

一类多项式的分解

考虑一类实多项式x^n-1在实数域上的分解，对于n=1,2,3,4的情况我们有:

这样的模式对前几个多项式可能容易推导，但当n足够大时，很难寻找一个合适的模式来确定其分解。

尝试

对于最简单的情况U_2(x)而言(U_1(x)是不可约多项式)，使用最简单的几何工具，我们可以构造如下的图形:

其中P为数轴上任意一点，OP的距离为x, AB为该单位圆的一个半径，长度为1.

那么我[……]

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从三次方程说起

对于一个一般的三次方程x^3=3px+2q, 我们可以证明他必定有解。

通过卡丹诺的推导我们可以得到通解的形式(要得到有意义的解需满足:q^2\ge p^3)：

x=\sqrt[3]{q+\sqrt{q^{2}-p^{3}}}+\sqrt[3]{q-\sqrt{q^{2}-p^{3}}}

例如例子x^3=6x+6,由上面的通解形式很容易得到解为2^{1/3}+2^{2/3}\approx2.84732.

而对于这样一个例子

x^3=15x+4

我们有

x=\sqrt[3]{2+11 i}+\sqrt[3]{2-11 i}

目前我们无法知晓i的存在到底会如何影响最终的解，但是由下[……]

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