窗

Bindow is renewed

Congratulations!

With a fortnight struggling with server migrations and debugging on connection errors, bindow has finally renewed to a new server for another exciting year! In the following year, I may not publish articles as quickly as I did last year, but I will endeavor to share my thoughts and[……]

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重新发明复数 篇七 复数域上的收敛性下篇

从收敛区间到收敛圆

神敲开实数的墙,创造了无上的圆。

我们在上一篇文章中讨论了f(x)=\frac{1}{x^2-1}的收敛性,我们可以看到,对于|f(x)|来说(一般来说,加绝对值不会对收敛区间有改变),其收敛区间与爆破点的紧密联系:

让我们在复数域上看看收敛区间是如何拓展的.

让我们直接对f(x)展开,使用最高项为10次来绘制图像, 可以得到下面的图像:

我们来对这张图进行详细的分析, 首先我们定义逆时针彩虹色为零点(\displaystyle \lim_{x=a}{f(x)=0}), 可以看到该图中共有10个零点,这与我们最高项为10次相对应。而这十个点隐喻地构造了一个圆。

显然[……]

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重新发明复数 篇六 复数域上的收敛性上篇

从一些例子引入收敛半径

I. 例子A

考虑一个多项式函数f(x)=\frac{1}{x-1}, 它的泰勒级数为\textbf{Series}(f)=1+x^2+x^3+···

再考虑一个三角函数g(x)=\cos(x)的泰勒级数\textbf{Series}(g)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+···

要知道级数利用了函数在x=x_0处的任意阶导数信息,所以我们可以猜测拥有了任意阶导数信息之后,由无穷项多项式是不是可以无限接近原函数呢?

对于g(x)来说, 似乎是这样的,随着多项式阶数的不断增加,相似的区间不断增加,我们有理由相信其随着阶数的增加,还会不断扩张[……]

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重新发明复数 篇五 卡西尼曲线和复数域上的变换

Prelude: Complex Function as Transformation

和高等代数相似地,将复数看作复平面上的线性变换,即z\mapsto w = f(z)=(a+bi)z,由复数的性质我们有下图(i将点列逆时针旋转90度),此处不再赘述.

当然,我们使用r\theta也能得到一样的结果(使用R(re^{i\theta}),\phi(re^{i\theta}))

再看看z\mapsto w = f(z)=z^n的变换:

在这里,若z=re^{i\theta},w就是w=r^ne^{in\theta},表示距离变为n次幂,角度也放大n倍.

卡西尼曲线

卡西尼曲线被定义为:曲线[……]

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Normality settles down over me?

Overcast

The rain won’t cease,
as the bleeding enchantments of anguish overwhelm me.
Pushing me to the edge of fury and gloominess.
The ‘WORK’ is allotted to me with sugarcoat lies,
in my melancholic head,
LSDed sunset beach, gleaming its turquoise flame, uprushing its sanguineous waves,
burns out m[……]

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重新发明复数 篇四 – 解与复平面上的旋转

从一个方程说起

考虑如下方程的在复数域解:

1=z^{3}

我们有:

z=1,z=(-1)^{2/3},z=-(-1)^{2/3}

乍一看来, 只有第一个解是可以立马得到的, 而剩下的两个解则需要一些运算。

如果遇到z_0=z^{n}这样的方程, 他有什么特质呢?

复数域上的变换

回到第一个方程, 我们可以看到对z做变换f:x\rightarrow x^3, 这对于复数代表了什么含义?

让我们将方程的三个解绘制出来, 再加上单位圆,我们得到了如下图像:

明显的,这三个点在圆上构成了一个正三角形。

如果令w=f(z)=z^n,则z^(n)=1的解正是z平面上被映到w平面上的w=1的那些点。

对[……]

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重新发明复数——篇三 任意多边形的面积

叉积与多边形面积

任意多边形的面积并不总是十分好求的,对于边数少的多边形或正多边形,我们由公式即可计算面积,但是对于复杂的多边形,并没有很直观的公式来计算面积。

A Complex Polygon

对简单情况的描述

考虑一个简单的正四边形,边长为二的情况下,它的面积为4.

正方形的面积公式告诉我们它的面积可以简单地通过2\times 2=4来得到,但相等的边长是任意多边形中很难满足的条件,所以对于任意多边形的面积,我们需要找到更宽的条件。

这里,我们选择平面中最常见的东西,点和线作为辅助, 试着计算这个正四边形的面积.

如果点O是原点, 而OA,B,C,D的连线记为向量\vec{a},\vec{b},\vec{c},\ve[......]

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重新发明复数——篇二 实多项式分解

实多项式的分解

简单的因式分解是中学的内容,其推广在高等代数中有详细展开。我们知道,有些实多项式在实数域上是不可被分解的,例如x^2+1就是如此。

一类多项式的分解

考虑一类实多项式x^n-1在实数域上的分解,对于n=1,2,3,4的情况我们有:

这样的模式对前几个多项式可能容易推导,但当n足够大时,很难寻找一个合适的模式来确定其分解。

尝试

对于最简单的情况U_2(x)而言(U_1(x)是不可约多项式),使用最简单的几何工具,我们可以构造如下的图形:

其中P为数轴上任意一点,OP的距离为x, AB为该单位圆的一个半径,长度为1.

那么我[……]

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重新发明复数 —— 篇一 三次方程和复数

从三次方程说起

对于一个一般的三次方程x^3=3px+2q, 我们可以证明他必定有解。

通过卡丹诺的推导我们可以得到通解的形式(要得到有意义的解需满足:q^2\ge p^3):

x=\sqrt[3]{q+\sqrt{q^{2}-p^{3}}}+\sqrt[3]{q-\sqrt{q^{2}-p^{3}}}

例如例子x^3=6x+6,由上面的通解形式很容易得到解为2^{1/3}+2^{2/3}\approx2.84732.

而对于这样一个例子

x^3=15x+4

我们有

x=\sqrt[3]{2+11 i}+\sqrt[3]{2-11 i}

目前我们无法知晓i的存在到底会如何影响最终的解,但是由下[……]

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