重新发明复数 篇四 – 解与复平面上的旋转
从一个方程说起
考虑如下方程的在复数域解:
1=z^{3}
我们有:
z=1,z=(-1)^{2/3},z=-(-1)^{2/3}
乍一看来, 只有第一个解是可以立马得到的, 而剩下的两个解则需要一些运算。
如果遇到z_0=z^{n}
这样的方程, 他有什么特质呢?
复数域上的变换
回到第一个方程,[……]
考虑如下方程的在复数域解:
1=z^{3}
我们有:
z=1,z=(-1)^{2/3},z=-(-1)^{2/3}
乍一看来, 只有第一个解是可以立马得到的, 而剩下的两个解则需要一些运算。
如果遇到z_0=z^{n}
这样的方程, 他有什么特质呢?
回到第一个方程,[……]
任意多边形的面积并不总是十分好求的,对于边数少的多边形或正多边形,我们由公式即可计算面积,但是对于复杂的多边形,并没有很直观的公式来计算面积。
考虑一个简单的正四边形,边长为二的情况下,它的面积为4.
正方形的面积公式告诉我们它的面积可以简单地通过2\times[......]
简单的因式分解是中学的内容,其推广在高等代数中有详细展开。我们知道,有些实多项式在实数域上是不可被分解的,例如x^2+1
就是如此。
考虑一类实多项式x^n-1
在实数域上的分解,对于n=1,2,3,4
的情况我们有:
这样的模式对前几个多项式[……]
对于一个一般的三次方程x^3=3px+2q
, 我们可以证明他必定有解。
通过卡丹诺的推导我们可以得到通解的形式(要得到有意义的解需满足:q^2\ge p^3
):
x=\sqrt[3]{q+\sqrt{q^{2}-p^{3}}}+\sqrt[3]{q-\sqrt{q^{2}-p^{3}[......]
不等式是验证人类智愚的最好工具
Quote from ZhiHu
显然我很蠢。
AM——Arithmetic mean
GM——Geometric mean
而AM-GM不等式其实就是算数平均数大于等于几何平均数的不等式。
也就是
\displaystyle[......]
最近看的最优控制一书很有趣, 前几章竟然使用了和其他数学书相反的方法, 先给你描绘一幅全景图,再一步一步深入分析和计算,让人在刚开始的时候感觉有点不知公式所云何物(但总比全书都无法理解来的要好很多)。在第二章,介绍完Euler和Lagrange的变分学想法之后,就遇到了一个小车控制的问题。
小[……]
在之前的三种特殊情况下, EL方程都可化为一阶常微分方程, 但对有n维状态变量的n个EL方程组, 在特殊情况下我们会得到n个一阶方程.
Hamilton考察更一般的情况, 将二阶的EL方程转化为一阶的力学Hamilton方程组:
\begin{aligned}
\do[......]
\frac{\partial{g}}{\partial{x}}(x(t),\dot{x}(t),t)-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\frac{\partial{g}}{\partial{\dot{x}}}(x(t),\dot{x}(t[......]