数学
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傅里叶级数-周期函数的优雅表示

我们为什么需要傅里叶级数?

一种通常的想法是,对于一个周期函数(或非周期函数),使用傅里叶级数(或傅里叶变换),能够从时域(时间维度)转移到频域(频率维度),将复杂的周期(非周期)函数看作一个正交规范系下的一组基,从而更有效的进行分析与计算。
同时,这种做法可以有效的提取出函数中的有效信[……]

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重新发明复数 篇七 复数域上的收敛性下篇

从收敛区间到收敛圆

神敲开实数的墙,创造了无上的圆。

我们在上一篇文章中讨论了f(x)=\frac{1}{x^2-1}的收敛性,我们可以看到,对于|f(x)|来说(一般来说,加绝对值不会对收敛区间有改变),其收敛区间与爆破点的紧密联系:

让我们在复数域上看看收敛区间是如何拓展的.

让我们直接对[……]

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重新发明复数 篇五 卡西尼曲线和复数域上的变换

Prelude: Complex Function as Transformation

和高等代数相似地,将复数看作复平面上的线性变换,即z\mapsto w = f(z)=(a+bi)z,由复数的性质我们有下图(i将点列逆时针旋转90度),此处不再赘述.

当然,我们使用r\theta也能得到一样[……]

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重新发明复数——篇三 任意多边形的面积

叉积与多边形面积

任意多边形的面积并不总是十分好求的,对于边数少的多边形或正多边形,我们由公式即可计算面积,但是对于复杂的多边形,并没有很直观的公式来计算面积。

A Complex Polygon

对简单情况的描述

考虑一个简单的正四边形,边长为二的情况下,它的面积为4.

正方形的面积公式告诉我们它的面积可以简单地通过2\times[......]

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小车控制能量最优问题的解决(Use MMA)

最近看的最优控制一书很有趣, 前几章竟然使用了和其他数学书相反的方法, 先给你描绘一幅全景图,再一步一步深入分析和计算,让人在刚开始的时候感觉有点不知公式所云何物(但总比全书都无法理解来的要好很多)。在第二章,介绍完Euler和Lagrange的变分学想法之后,就遇到了一个小车控制的问题。

问题

小[……]

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