Recent recapitulate of Real Analysis
Recent recapitulate of Real Analysis

Recent recapitulate of Real Analysis

不知為何,數學家總是和積分過不去。在大多數情況下,Riemann積分都是足夠使用的(更精確地說,每一個分段連續的(pairwise continuous)函數都是Riemann可積的),但分段連續的函數只是一類函數,對於Riemann不可積的函數,例如

D(x)=\begin{cases}1&x\in \mathbb{Q}\\0&x\not\in\mathbb{Q}\end{cases}

我們需要建立一個更普適的積分概念來處理間斷性強的函數。

回想Riemann積分的意義,我們始終在處理函數的長度、面積、體積以及更高維度的體積等等,為了構建一個普適的積分,我們首先要統一這些概念。

定義:計算歐氏空間$\mathbb{R}^n$中$\Omega$的長度($n=1$), 面積($n=2$), 體積($n=3$)等等概念統稱為$\Omega$的測度

如何構建“普適測度”?

稍微思考一番,我們就能給出一個測度應該滿足的一些性質:

  • 測度應該是在$\mathbb{R}$中普適的: 對於$\mathbb{R}$的每一個子集$\Omega$, 測度$m(\Omega)$都應該存在;
  • $\mathbb{R}^n$中最大和最小的測度: 當$\Omega$為空集或單點集時, $m(\Omega)=0$, 當$\Omega$就是整個空間時, $m(\Omega)=\infty$;
  • 測度應該具有可加性: 如果$A,B\in \mathbb{R}, A\cap B=\emptyset$, $m(A\cup B)=m(A)+m(B)$, 即兩個不相交的集合構成集合的測度應該是這兩個集合測度的和;
  • 測度的序應該與集合的序相對應: 舉個例子, 如果$A\subseteq B$, 那麼$m(A)\leq m(B)$;
  • 測度應該具有平移不變性: 簡略地說,對任一$\Omega$, 無論它處於歐氏空間的哪個位置,它的測度都應該相同。

那麼,有了上面的定義,我們就能對$\mathbb{R}^n$上的所有子集進行度量了麼?如果一切如此順利,那麼實分析到此就可以告一段落了。

這些定義看上去非常基礎且符合直覺,甚至於我們不能承受去掉除第一點之外的任何一個來完成我們“普適測度”的構建。所以,帶著極大地惋惜,我們只考慮度量$\mathbb{R}^n$上一個特定的子集。

有人可能會說

等等,這一切非常詭異,我們想要拋棄Riemann積分的原因就是它能處理的函數太有限,結果我們在構建“普適測度”的時候,仍然只能考慮歐氏空間上的子集?

不要著急,不久之後我們會看到,我們所規定的這個子集(數學家稱其為可測集,而在可測集上的測度稱為勒貝格測度),對於日常生活乃至於分析學想要研究的集合都已經足夠好了,我們甚至不能在脫離選擇公理的情況下精準地構建一個不可測集,這就有點像讓你說出一個無法描述但存在的數一樣。

這樣的數真的存在?

是的,一個無法用任何語言描述但依舊存在的數… 雖然不可測集仍然能在承認選擇公理的情況下被構建, 但是我們無法舉出任何一個可以被顯式表示的不可測集的例子,即它是完全不可用的.

從頭開始

我們一直在討論集合,那麼我們應該先從集合入手,構建測度的概念。但在定義真正可用的測度前,我們首先需要對集合、區間和它們的代數性質等概念有基本的認識。在本篇中,我們至多給出定義和結論,不會涉及任何證明。

對於這個未曾定義的可測集,我們期望它擁有很好的性質,但首先,它至少得滿足一些基本條件。為了方便,僅考慮$\mathbb{R}$上的子集:

:如果$A,B$在環中,那麼他們的有限並和有限差也在該環中。

只需要加上對於無限並封閉,就能不費力氣地構造$\sigma$-環,這對之後的討論是方便的。最後,我們定義一個粗糙的集合函數作為之後建立測度的藍圖:

定義: $\mathcal{R}$是$\bar{\mathbb{R}}$上的環,函數$v:\mathcal{R}\rightarrow \bar{\mathbb{R}}$稱為$\mathcal{R}$上的集合函數, 如果$\forall A,B\in \mathcal{R}$, $A\cap B=\emptyset$, 有$v(A\cup B)=v(A)+v(B)$, 那麼它具有加性. 類似地,如果$\mathcal{R}$是一個$\sigma$-ring, 如果$A_1, \cdots \in \mathcal{R}$並且它們兩兩不交,有$\phi(\bigcup_{n-1}^\infty A_n)=\sum_{n=1}^\infty \phi(A_n)$, 那麼$\phi$具有可列可加性. 當然,這些集合函數都具有序、

基礎集

至此,我們開始分析$\mathbb{R}$上的區間。事實上,如果我們能對$\mathbb{R}$上的所有有限長度的區間(不論開閉,也可以是區間的有限並、有限交、差、補)指定測度,這樣已經足夠好。所以我們定義一個基礎集,它包含所有區間的有限並

由於同時處理開閉區間是件棘手的事情,我們要引入邊界的概念,例如$[1,2]$的邊界即為$\{1\}\cup \{2\}$,在這樣的定義下,我們能夠給出基礎集一些很好的性質:

  • 開區間的有限並(n)可以寫為至多有限個(n)不交開區間的並(使用數學歸納法證明);
  • 任何區間的有限並可以寫為有限個不交區間的並(將區間分為它的內部和邊界,再使用上一個結論);
  • 基礎集內元素的並仍然在基礎集內(通過定義證明)——這是環的一個性質;
  • 兩個區間的交仍然在基礎集內(通過定義證明,需要處理內部和邊界);
  • 基礎集內元素的交仍然在基礎集內(使用上一個結論證明);
  • 兩個區間的差仍然在基礎集內(注意,區間是有界的);
  • 基礎集是環——需要證明基礎集對並和差封閉(通過上一個結論證明)。

對於基礎集裡的元素,我們可以指派一個具有正性、可加性的集合函數用於度量——即計算區間的長度再相加。

到這裡,構建可測集的工作似乎已經結束,我們有了一個對$\mathbb{R}$上任意區間的並和差的測度了,對吧?

事情在無限集上複雜了起來

是的,我們仍然不清楚對基礎集的無限並的性質,它們仍然屬於基礎集嗎?如果不屬於,我們要如何構建一個$\sigma$-環?

走向無限——外側度

在構建勒貝格測度之前,我們首先考慮使用開覆蓋來覆蓋我們想要度量的集合,再將這些開覆蓋的測度累加,當然,我們希望這樣的開覆蓋是盡可能從上逼近被度量的集合的,嚴謹地講:

定義:若$\mu$是基礎集$\mathcal{E}$上具有加性、正規性(對$A\in \mathcal{E}$, 能夠找到開集$F$和閉集$G$使它們的測度從上下逼近$\mu(A)$)、非負性和有限性的集合函數並且$E\subset\bigcup_{n=1}^\infty A_n$($E$現在不一定屬於基礎集), 那麼定義外測度$\mu^*(E)=\inf\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)$.

仍然考慮$\mu^\ast$在基礎集$\mathcal{E}$上的性質,此時的$\mu^\ast$滿足單調性、空性、正性和平移不變性,但是,它在基礎集上只滿足次可列可加性和次可加性(而不是我們想要的可列可加性與可加性)。這說明,基礎集對於外測度來講太小了,我們需要將基礎集元素的極限也囊括在我們考慮的範圍之內。所以我們定義$\mathfrak{M}_F(\mu)$是一個包含了基礎集合基礎集元素的極限的集合,外測度在這個集合上是可加的。對於可列可加,我們繼續將$\mathfrak{M}_F(\mu)$擴張,定義$\mathfrak{M}(\mu)$是$\mathfrak{M}_F(\mu)$的可列並,我們稱這個集合是$\mu$可測的,此時$\mathfrak{M}_m$是一個$\sigma$-環,它終於滿足了我們理想中測度所有性質。

若此時$\mu=m$, 它就被稱為$\mathbb{R}$上的勒貝格測度。

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