傅里叶级数-周期函数的优雅表示
傅里叶级数-周期函数的优雅表示

傅里叶级数-周期函数的优雅表示

我们为什么需要傅里叶级数?

一种通常的想法是,对于一个周期函数(或非周期函数),使用傅里叶级数(或傅里叶变换),能够从时域(时间维度)转移到频域(频率维度),将复杂的周期(非周期)函数看作一个正交规范系下的一组基,从而更有效的进行分析与计算。
同时,这种做法可以有效的提取出函数中的有效信息,从去除冗余信息的角度能够对问题进行更好的特征提取和分析。

这个例子里,方波被分解为频域上的多个三角多项式,他们的总和在多项式数量趋近无穷时无限趋近方波。

傅里叶级数是什么?

对于一个周期为T的周期函数f(x), 傅里叶级数通过叠加三角函数对f(x)进行无损分解,而三角函数是通过振幅和频率来调整的。

为什么是sin(x)和cos(x)?

因为sin(x)与cos(x)分别为奇函数和偶函数,而这两个函数的和可以组合成任意函数(需要更多支撑材料,或许通过复分析视角进行分析)。

f(x)=\frac{1}{2} (f(x)-f (-x))+\frac{1}{2} (f (-x)+f(x))=f_{\text{even}}+f_{\text{odd}}

任意周期函数的分解

对于任意一个周期函数,需要考虑三角多项式的振幅与频率,以及函数自身的常数涨落,使得周期、振幅和频率逼近该函数,我们可以得到下面的式子:

f(x)=C+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos (\frac{2\pi n}{T}x)+b_n\sin \
(\frac{2\pi n}{T}x))

式中的$C$, $a_n$, $b_n$

确定$C, a_n, b_n$

时域与频域

根据欧拉公式 $e^i t=\cos(t)+i\sin(t)$, 我们可以找到时域与频域的关系。

在时间$t$轴上,绘制$e^i t$的虚部,即为$\sin(t)$:

而任意周期函数的加和是三角多项式(此处为不完全逼近):

通过交互式案例和动画可以看出,向量和的纵坐标与特定时域的函数值之间的等价关系。

傅里叶级数的线性空间视角

我们重新审视其的定义

f(x)=C+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos (\frac{2\pi n}{T}x)+b_n\sin \
(\frac{2\pi n}{T}x))

为了求出该无穷多项式的系数,需要引入无限维向量空间,并利用其中的一些性质求出系数。

$\mathbb{R}^2$中的向量v包含无限多个元且满足 $||v||^2=v_1^2+v_2^2+\cdots$收敛, 此时该无限维空间仍满足向量空间的定义与性质,称之为Hilbert空间,这个空间保有一般几何性质,例如正交性:若 $\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{\top}} \boldsymbol{y}=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+\ldots=0$, 则$x, y$正交。而在傅里叶级数中,该函数空间中的内积定义为

\langle f, g\rangle=\int_{[0,1]} f(x) g(x) d x=\int_{0}^{T} f(x) g(x) d x

由于

\langle \sin(nx), \cos(nx)\rangle=\int_{[0,1]} \sin(nx) \cos(nx) d x=\int_{0}^{\frac{2\pi}{n}} \sin(nx) \cos(nx) dx

所以$\sin(nx)$与$\cos(nx)$在此定义下正交,可以作为一组正交基,从而推出坐标的值。

这样,我们得到了一组无限维基作为向量: $\{1, \cos((2[Pi] n)/T x),\sin((2[Pi] n)/T x)\}$
如何求正交基的坐标?

在一般的线性空间中,可以通过点积求出正交基的坐标,例如$\vec{w}=2 \vec{u}+3 \vec{v}$,其中

\vec{u}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1
\end{array}\right), \vec{v}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
1
\end{array}\right)

$\vec{u}$的系数可以通过

\frac{\vec{w} \cdot \vec{u}}{\vec{u} \cdot \vec{u}}=\frac{\vec{w} \cdot \vec{u}}{\|\vec{u}\|^{2}}=\frac{(1,5) \cdot(-1,1)}{2}=2

求得,而在这个Hilbert空间中,计算$a_n$与$b_n$可以效仿上述计算,即

a_{n}=\frac{\langle f, \cos n x\rangle}{\|\cos n x\|_{2}^{2}}, b_{n}=\frac{\langle f, \sin n x\rangle}{\|\sin n x\|_{2}^{2}}

这样,我们就对周期函数定义了傅里叶级数,并可以通过Hilbert空间中的内积计算各频率下的系数。

https://www.wolframcloud.com/obj/1158817754/Published/fourierSeries

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。

此站点使用Akismet来减少垃圾评论。了解我们如何处理您的评论数据