重新发明复数——篇三 任意多边形的面积
重新发明复数——篇三 任意多边形的面积

重新发明复数——篇三 任意多边形的面积

叉积与多边形面积

任意多边形的面积并不总是十分好求的,对于边数少的多边形或正多边形,我们由公式即可计算面积,但是对于复杂的多边形,并没有很直观的公式来计算面积。

A Complex Polygon

对简单情况的描述

考虑一个简单的正四边形,边长为二的情况下,它的面积为4.

正方形的面积公式告诉我们它的面积可以简单地通过2\times 2=4来得到,但相等的边长是任意多边形中很难满足的条件,所以对于任意多边形的面积,我们需要找到更宽的条件。

这里,我们选择平面中最常见的东西,点和线作为辅助, 试着计算这个正四边形的面积.

如果点O是原点, 而OA,B,C,D的连线记为向量\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}(之后均用粗体字母表示向量), 那么这个正四边形的面积为

S=\frac{1}{2}(\textbf{a}\times \textbf{b})(\textbf{b}\times \textbf{c})(\textbf{c}\times \textbf{d})(\textbf{d}\times \textbf{a})

相较于使用边长的方法,这个方法只要求多边形拥有顶点即可,这样,对任意多边形这个计算公式均成立。

真的是这样吗?

我们的例子中,使用的正多边形是一个凸多边形,且点在多边形内,如果点在多边形外,这个式子还成立吗?

讨论

只需要稍加思考便可知道,点的位置对计算是没有影响的。

这是因为叉积所计算的面积是带有方向的,如下图所示,如果点O在正方形外,多边形OAB,OBC,OAD的面积为正, 而由叉积计算出的OCD的面积是负数。

这是由叉积的定义决定的,如下图:

对于A,B两向量, 面积为正的情况是在A逆时针旋转到B时的角度\alpha决定的, 这个值为\cos{\alpha}, 所以一旦\alpha\gt 180^{\circ},d就会为负数, 从而使面积变为负数。

那我们可以推断, 对任意一个多边形\textbf{P}来说, 通过平面中任意一点p与个顶点的连线形成的向量\textbf{v}_2,···,\textbf{v}_n, 我们可以求得该多边形的面积为

\textbf{S}_\textbf{P}=\frac{1}{2}(\textbf{v}_1\times \textbf{v}_2)···(\textbf{v}_{n}\times \textbf{v}_1)

复平面与复数

如果处理在复平面上的图形面积, 使用复数通常是更好的办法。

叉积的计算

回到叉积的定义上, 我们从上面的图中发现, d向量是不处在平面内的, 但它的方向永远与平面正交且长度是图中三角形面积的两倍。在解析几何中,我们需要用三维向量来定义叉积的计算。


\begin{vmatrix}
 \textbf{i} &  \textbf{j} &  \textbf{k}\\
 a_r & a_i & 0 \\
 b_r & b_i & 0
\end{vmatrix}=0 \textbf{i}+0 \textbf{j}+\underline{(a_rb_i-a_ib_r)} \textbf{k}

其中\textbf{i},\textbf{j},\textbf{k}是三维空间中的一组基底。

熟悉的模式

如果你熟悉复数的运算法则, 就会发现\textbf{j}+(a_rb_i-a_ib_r)在复数乘法中也经常出现。

这给我们用复数计算多边形的面积提供了一个思路。

如果将平面中顶点与点p的连线当作在复平面上的复数, 对于上面正四边形的例子我们有:


\textbf{a}=a_r+a_i\textbf{i} \\
··· \\
(\textbf{a}\times \textbf{b})=(a_r+a_i\textbf{i})(b_r+b_i\textbf{i})=[a_rb_r-a_ib_i]+\underline{[a_rb_i+a_ib_r]}\textbf{i} \\
··· 

我们看到了熟悉的结构, 但符号出现了一些问题。

要改变其符号,只需将\textbf{a}换成它的共轭\bar{\textbf{a}}=a_r-a_i\textbf{i}即可。

这时候我们就能有:


\textbf{S}_\textbf{P}=\frac{1}{2}(\textbf{v}_1\times \textbf{v}_2)···(\textbf{v}_{n}\times \textbf{v}_1) \\
=\frac{1}{2} \mathrm{Im}(\bar{\textbf{v}}_1\textbf{v}_2+\bar{\textbf{v}}_2\textbf{v}_3+···+\bar{\textbf{a}}_n\textbf{v}_1) \\

由图形证明, 事实的确如此。

可见无论点在哪, 虚轴的值永远是正方形的面积4。

Reference

Visual Complex Analysis

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