克鲁斯卡尔算法
克鲁斯卡尔算法,从边的角度求网的最小生成树,时间复杂度为O(nlogn)
。和普里姆算法恰恰相反,更适合于求边稀疏的网的最小生成树。
对于任意一个连通网的最小生成树来说,在要求总的权值最小的情况下,最直接的想法就是将连通网中的所有边按照权值大小进行升序排序,从小到大依次选择。
由于最小生成树本身是一棵生成树,所以需要时刻满足以下两点:
- 生成树中任意顶点之间有且仅有一条通路,也就是说,生成树中不能存在回路;
- 对于具有 n 个顶点的连通网,其生成树中只能有 n-1 条边,这 n-1 条边连通着 n 个顶点。
所以克鲁斯卡尔算法的具体思路是:将所有边按照权值的大小进行升序排序,然后从小到大一一判断,条件为:如果这个边不会与之前选择的所有边组成回路,就可以作为最小生成树的一部分;反之,舍去。直到具有 n 个顶点的连通网筛选出来 n-1 条边为止。筛选出来的边和所有的顶点构成此连通网的最小生成树。
判断是否会产生回路的方法为:在初始状态下给每个顶点赋予不同的标记,对于遍历过程的每条边,其都有两个顶点,判断这两个顶点的标记是否一致,如果一致,说明它们本身就处在一棵树中,如果继续连接就会产生回路;如果不一致,说明它们之间还没有任何关系,可以连接。
假设遍历到一条由顶点 A 和 B 构成的边,而顶点 A 和顶点 B 标记不同,此时不仅需要将顶点 A 的标记更新为顶点 B 的标记,还需要更改所有和顶点 A 标记相同的顶点的标记,全部改为顶点 B 的标记。
例如,使用克鲁斯卡尔算法找图 1 的最小生成树的过程为:
首先,在初始状态下,对各顶点赋予不同的标记(用颜色区别),如下图所示:
对所有边按照权值的大小进行排序,按照从小到大的顺序进行判断,首先是(1,3),由于顶点 1 和顶点 3 标记不同,所以可以构成生成树的一部分,遍历所有顶点,将与顶点 3 标记相同的全部更改为顶点 1 的标记,如(2)所示:
其次是(4,6)边,两顶点标记不同,所以可以构成生成树的一部分,更新所有顶点的标记为:
其次是(2,5)边,两顶点标记不同,可以构成生成树的一部分,更新所有顶点的标记为:
然后最小的是(3,6)边,两者标记不同,可以连接,遍历所有顶点,将与顶点 6 标记相同的所有顶点的标记更改为顶点 1 的标记:
继续选择权值最小的边,此时会发现,权值为 5 的边有 3 个,其中(1,4)和(3,4)各自两顶点的标记一样,如果连接会产生回路,所以舍去,而(2,3)标记不一样,可以选择,将所有与顶点 2 标记相同的顶点的标记全部改为同顶点 3 相同的标记:
当选取的边的数量相比与顶点的数量小 1 时,说明最小生成树已经生成。所以最终采用克鲁斯卡尔算法得到的最小生成树为(6)所示。
算法实现:
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#define MAX_VERtEX_NUM 20
#define VertexType int
typedef struct edge{
VertexType initial;
VertexType end;
VertexType weight;
}edge[MAX_VERtEX_NUM];
//定义辅助数组
typedef struct {
VertexType value;//顶点数据
int sign;//每个顶点所属的集合
}assist[MAX_VERtEX_NUM];
assist assists;
//qsort排序函数中使用,使edges结构体中的边按照权值大小升序排序
int cmp(const void *a,const void*b){
return ((struct edge*)a)->weight-((struct edge*)b)->weight;
}
//初始化连通网
void CreateUDN(edge *edges,int *vexnum,int *arcnum){
printf("输入连通网的边数:\n");
scanf("%d %d",&(*vexnum),&(*arcnum));
printf("输入连通网的顶点:\n");
for (int i=0; i<(*vexnum); i++) {
scanf("%d",&(assists[i].value));
assists[i].sign=i;
}
printf("输入各边的起始点和终点及权重:\n");
for (int i=0 ; i<(*arcnum); i++) {
scanf("%d,%d,%d",&(*edges)[i].initial,&(*edges)[i].end,&(*edges)[i].weight);
}
}
//在assists数组中找到顶点point对应的位置下标
int Locatevex(int vexnum,int point){
for (int i=0; i<vexnum; i++) {
if (assists[i].value==point) {
return i;
}
}
return -1;
}
int main(){
int arcnum,vexnum;
edge edges;
CreateUDN(&edges,&vexnum,&arcnum);
//对连通网中的所有边进行升序排序,结果仍保存在edges数组中
qsort(edges, arcnum, sizeof(edges[0]), cmp);
//创建一个空的结构体数组,用于存放最小生成树
edge minTree;
//设置一个用于记录最小生成树中边的数量的常量
int num=0;
//遍历所有的边
for (int i=0; i<arcnum; i++) {
//找到边的起始顶点和结束顶点在数组assists中的位置
int initial=Locatevex(vexnum, edges[i].initial);
int end=Locatevex(vexnum, edges[i].end);
//如果顶点位置存在且顶点的标记不同,说明不在一个集合中,不会产生回路
if (initial!=-1&& end!=-1&&assists[initial].sign!=assists[end].sign) {
//记录该边,作为最小生成树的组成部分
minTree[num]=edges[i];
//计数+1
num++;
//将新加入生成树的顶点标记全不更改为一样的
for (int k=0; k<vexnum; k++) {
if (assists[k].sign==assists[end].sign) {
assists[k].sign=assists[initial].sign;
}
}
//如果选择的边的数量和顶点数相差1,证明最小生成树已经形成,退出循环
if (num==vexnum-1) {
break;
}
}
}
//输出语句
for (int i=0; i<vexnum-1; i++) {
printf("%d,%d\n",minTree[i].initial,minTree[i].end);
}
return 0;
}