Prelude: Complex Function as Transformation
和高等代数相似地,将复数看作复平面上的线性变换,即z\mapsto w = f(z)=(a+bi)z
,由复数的性质我们有下图(i
将点列逆时针旋转90度),此处不再赘述.
当然,我们使用r\theta
也能得到一样的结果(使用R(re^{i\theta}),\phi(re^{i\theta})
)
再看看z\mapsto w = f(z)=z^n
的变换:
在这里,若z=re^{i\theta}
,w
就是w=r^ne^{in\theta}
,表示距离变为n次幂,角度也放大n倍.
卡西尼曲线
卡西尼曲线被定义为:曲线上所有点到两定点(焦点)的距离之积为常数.
这是复平面中的等高线图,颜色越亮数值越大,从图中看到两个奇点(-1,0),(1,0).
很容易看出等高线图和三维图的联系.
该图像是由
(z+1)(z-1)
得到的.
按照椭圆的定义,很显然的,卡西尼曲线的焦点正好是上面这个多项式的解。
那么可以推广为,
如果具有
n
焦点,a_1,a_2,...,a_n
的卡西尼曲线: 此点与各交点距离的乘积恒为常数.
那么这个图形的方程为(z-a_1)(z-a_2)···(z-a_n)
以Transforamtion的角度看卡西尼曲线
对于一个在复平面上的半径为1,圆心为(1,0)圆, 我们有
e^{i\theta}+1 \\
\textbf{where}\space \theta \in [-\pi ,\pi]
稍加变换我们有
e^{i\theta}+1 = e^{2i\theta}+1 = -(e^{i\theta}-1)(e^{i\theta}+1)\\
\textbf{where}\space \theta \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]
这种形式我们相当熟悉,如果我们对其做变换z \mapsto w=f(z)=z^2
就得到了
f^{-1}(z) = i(\sqrt{-1+e^{i\theta}})(\sqrt{1+e^{i\theta}})
此时我们得到了
卡西尼曲线!
原理如下:
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