重新发明复数 篇五 卡西尼曲线和复数域上的变换
重新发明复数 篇五 卡西尼曲线和复数域上的变换

重新发明复数 篇五 卡西尼曲线和复数域上的变换

Prelude: Complex Function as Transformation

和高等代数相似地,将复数看作复平面上的线性变换,即z\mapsto w = f(z)=(a+bi)z,由复数的性质我们有下图(i将点列逆时针旋转90度),此处不再赘述.

当然,我们使用r\theta也能得到一样的结果(使用R(re^{i\theta}),\phi(re^{i\theta}))

再看看z\mapsto w = f(z)=z^n的变换:

在这里,若z=re^{i\theta},w就是w=r^ne^{in\theta},表示距离变为n次幂,角度也放大n倍.

卡西尼曲线

卡西尼曲线被定义为:曲线上所有点到两定点(焦点)的距离之积为常数.

这是复平面中的等高线图,颜色越亮数值越大,从图中看到两个奇点(-1,0),(1,0).

很容易看出等高线图和三维图的联系.

该图像是由

(z+1)(z-1)

得到的.

按照椭圆的定义,很显然的,卡西尼曲线的焦点正好是上面这个多项式的解。

那么可以推广为,

如果具有n焦点,a_1,a_2,...,a_n的卡西尼曲线: 此点与各交点距离的乘积恒为常数.
那么这个图形的方程为(z-a_1)(z-a_2)···(z-a_n)

以Transforamtion的角度看卡西尼曲线

对于一个在复平面上的半径为1,圆心为(1,0)圆, 我们有

e^{i\theta}+1 \\
\textbf{where}\space \theta \in [-\pi ,\pi]

稍加变换我们有

e^{i\theta}+1 = e^{2i\theta}+1 = -(e^{i\theta}-1)(e^{i\theta}+1)\\
\textbf{where}\space \theta \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]

这种形式我们相当熟悉,如果我们对其做变换z \mapsto w=f(z)=z^2

就得到了

f^{-1}(z) = i(\sqrt{-1+e^{i\theta}})(\sqrt{1+e^{i\theta}})

此时我们得到了

卡西尼曲线!

原理如下:

一条评论

  1. Pingback:MMA How To I —— 使用Blender渲染三维图形 – 窗

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